Приклад.

Приклад.

Обчислити визначник, розкладаючи його за елементами третього рядка.

Той самий результат буде, якщо ми розкриємо визначник за елементами іншого рядка (стовпця).

1.3. Поняття про визначники вищих порядків.

Теорема, яку ми розглянули вище, дає змогу ввести означення визначника довільного порядку. За означенням визначник n го порядку дорівнює сумі добутків елементів будь-якого рядка (стовпця0 на їхні алгебраїчні доповнення. Але такий спосіб обчислення громіздкий. Так. Для обчислення визначника четвертого порядку нам треба обчислити чотири визначники третього порядку. Тому на практиці спочатку за допомогою властивостей визначника перетворюють визначник так, щоб у деякому рядку або стовпці всі елементи, крім одного, стали нулями. Розкладаючи тоді визначник згідно з теоремою за елементами цього рядка, дістанемо тільки один доданок, тому що всі інші доданки є добутками алгебраїчних доповнень на нуль.

Обчислити визначник .

У першому рядку перетворимо всі елементи. Крім першого, на нуль. Для цього, залишаючи перший та другий стовпці без змін, до третього додамо перший, а до четвертого – перший, помножений на (-2). Тоді

.

Розклавши цей визначник за елементами першого рядка,дістанемо

Тепер у другому стовпчику перетворимо всі елементи, крім останнього, на нулі. Для цього перепишемо без змін третій рядок, а потім додамо до третього рядка послідовно другий та перший рядки. Дістанемо

2. Матриці

2.1. Основні означення.

Прямокутна таблиця чисел складена з рядків та стовпців і записана у вигляді

називають матрицею. Коротко матрицю позначають так:

де

- елементи матриці, причому індекс I в елементі позначає номер рядка, а j – номер стовпця, на перетині яких стоїть даний елемент.

Добуток числа рядків m на число стовпців n називають розміромматриці та позначають .

Матриця, в якій число рядків дорівнює числу стовпців, називають квадратною.Кількість рядків (стовпців) квадратної матриці називають її порядком. Матриця, у якої всього один рядок, називається матрицею – рядком,один стовпець –матрицею – стовпцем. Дві матриці називаються рівними, якщо вони однокових розмірів і мають рівні відповідні елементи.



Нульовою називають матрицю, у якої всі елементи дорівнюють нулю. Позначається така матриця буквою О. Як і в визначниках в квадратних матрицях виділяють головну і побічну діагоналі.

Квадратна матриця називається діагональною, якщо всі її елементи, крім тих, що знаходяться на головній діагоналі, дорівнюють нулю. Діагональна матриця, у якої кожен елемент головної діагоналі дорівнює одиниці, називається одиничною та позначається буквою Е. Наприклад, одинична матриця третього порядку має вигляд

.

Будь – якій квадратній матриці можна поставити у відповідність певне число, яке називається визначником (детермінантом) цієї матриці і позначається символом

det A. Наприклад, якщо

Прямокутна матриця ( визначника не має.

2.2. Дії над матрицями.

1. Операція додавання матриць вводиться тільки для матриць однакового розміру. Сумою двох матриць називається матриця . Наприклад,

2. Добутком матриці на число k, ( або числа k на матрицю ) називається матриця . Наприклад,

3. Різниця матриць визначається як сума матриці і матриці , помноженої на (-1):

Справедливі такі властивості операцій:

§ - комутативність відносно додавання матриць;

§ - асоціативність відносно додавання матриць;

§ - роль нульової матриці в діях над матрицями така, як і числа нуль в діях над числами;

§ - асоціативність відносно множення чисел;

§ - дистрибутивність множення на число відносно додавання матриць;

§ - дистрибутивність множення на матрицю відносно додавання чисел.

4. Операція множення двох матриць вводиться лише для узгоджених матриць. Матриця A називається узгодженоюз матрицею B , якщо кількість стовпців першої матриці Aдорівнює кількості рядків другої матриці B. Якщо ця умова не виконається, тобто матриці неузгоджені, то множення таких матриць неможливо.

Квадратні матриці одного порядку взаємно узгоджені.

Добутком матриці на матрицю називається така матриця, у якої елемент дорівнює сумі добутків елементів i - го рядка матриці A на відповідні елементи j - го стовпця матриці B:

; Наприклад, знайти , якщо

Матриця узгоджена з матрицею , тому за означенням маємо

Операція множення матриць не комутативна, тобто при множенні матриць не можна міняти місцями множники:

.

Для дій 1 – 4 над матрицями виконуються такі властивості:

§

§

§

§

§

2.3. Обернена матриця

Нехай – квадратна матриця. Матриця називається оберненою до матриці , якщо виконується умова

.

Квадратна матриця називається виродженою, якщо і не виродженою, якщо .

Теорема. Для існування оберненої матриці необхідно і достатньо, щоб матриця була не виродженою; при цьому

, (5)

де - алгебраїчні доповнення елементів визначника матриці , тобто

.


5326301750347216.html
5326353100013046.html
    PR.RU™